OYUN TEORİSİ

Oyun mu, Teori mi?

Akademik araştırmalarda kullanım alanları yaygınlaştıkça önemi anlaşılan bu araç, 1990’lardan itibaren Amerika’da yaygın olarak uygulanmaya başlandı. Özellikle ekonomi alanında ihale düzenlemelerinden rekabet analizlerine kadar geniş bir uygulama alanı ortaya çıktı.

Türkiye’de oyun teorisi ancak son yıllarda akademik olduğu kadar günlük hayatta da- özellikle de Akıl Oyunları adlı filmin ülkemizde vizyona girmesinden sonra- ilgi odağı oldu. Aslında, modern oyun teorisi bugün karsımıza çıkan şekline uzun bir gelişme sürecinden sonra ulaştı. Bu sürece kısaca göz atmak “Oyun Teorisi” isminin nereden geldiğini anlamamıza yardımcı olabilir.

Satranç, poker, briç gibi oyunlarda oyuncuların davranışlarını modellemek ve akılcı strateji seçimleri üzerine çalışan Macar asıllı Amerikalı John von Neuman, oyunlar üzerine ilk makalesini 1928 yılında yayınladı. Hidrojen bombası ve ilk bilgisayarın mucitlerinden sayılan bu dahi matematikçi, bir ekonomist olan Oskar Morgenstern ile birlikte, oyun teorisini 1944 yılında basılan “Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış” isimli kitaplarında ilk defa ekonomi alanına taşıdılar. Bu kitapta iki oyunculu, sıfır toplamlı oyunları ve işbirlikçi oyunları incelediler. John F. Nash, 1950-53 yılları arasında yayınladığı dört çalışması ile oyun teorisini geliştirdi ve hem rekabetçi hem de işbirlikçi oyunlarda kullanılabilecek bir denge kavramını ortaya çıkardı. Halen oyun teorisinin ağır yükünü onun ortaya attığı Nash dengesi çekmektedir. Martin Shubik 1959 basımlı “Strateji ve Pazar Yapısı: Rekabet, Oligopol ve Oyun Teorisi” kitabında rekabetçi oyun teorisini ilk defa oligopollere uyguladı. 1965te Reinhard Selten, Nash dengesini yaygın biçimdeki oyunlarda (oyuncuların sıra ile stratejilerini seçtikleri oyunlar) kullanılabilecek şekilde geliştirdi. Üç seri makalesi ile John Harsanyi, 1967-68 yıllarında teorinin oyuncuların eksik bilgi sahibi olduğu oyunlara nasıl uygulanabileceğini gösterdi.

Gittikçe gelişen, dallanıp budaklanan oyunlar teorisi, ekonomi bilimi için olduğu kadar, hukuk, politika, işletme, uluslararası ilişkiler ve hatta biyoloji gibi bilimler için de vazgeçilmez bir matematiksel araç oldu. Ekonomide, özellikle de endüstriyel organizasyon alanında teorik gelişmelere yol açtı ve yön verdi. Oyun teorisi aynı zamanda stratejik karşılaşmaların incelenmesinde standart bir dil haline geldi.

Biraz Terminoloji

Oyun teorisi: özellikle sosyal bilimlerde stratejik karşılaşmaları modellemeye yarayan matematiksel bir araçtır.

Stratejik karşılaşmalar: oyuncuların getirileri birbirlerinin hareketlerinden karşılıklı olarak etkilendiği çekişme ya da çatışmalar.

Statik oyunlar: oyuncuların bir defaya mahsus olmak üzere oynadıkları oyunlar.

Akılcılık: her oyuncunun kendi kazancını maksimize etmeye çalışması.

Akılcılığın ortak bilgi olması: Tüm oyuncular kendilerinin ve rakiplerinin akılcı olduğunu bilir, rakiplerinin de kendilerinin bu bilgiye sahip olduklarını bildiklerini bilir ve bunun gibi sonsuza giden bir mantık zincirinin var olduğu varsayımı.

Kusurlu bilgili oyunlar (games with imperfect information): oyuncuların birbirlerinin strateji seçimlerini göremedikleri ve sanki aynı anda karar veriyorlarmış gibi oynadıkları oyun.

Eksik bilgili oyunlar (games with incomplete information): oyunculardan bir ya da daha fazlasının diğer oyuncunun ya da oyuncuların getirilerini bilmeden oynadıkları oyun.

Sıfır toplamlı oyun: bir oyuncunun kazancının, diğer oyuncunun kaybına eşit olduğu oyun (poker, tenis vb.).

Statik Oyunlar

Karmaşık matematiksel hesaplara girmeden oyun teorisinin mantığını anlamak için en basit oyunlar olan statik, yani oyuncuların stratejilerini aynı anda seçtikleri oyunları incelemek yeterli olabilir. Stratejik bir karşılaşmayı oyun teorisi ile incelemek için ise, önce bu çatışmanın bir oyun olarak tanımlanması gerekir.

Bir oyunun tanımı üç temel öğeye dayanır:

1. Oyuncular kümesi (I): Oyuncuların yer aldığı küme. Bu oyuncular kurgulanan oyuna ve modellenen duruma göre kişiler, şirketler, devletler ve hatta hayvanlar olabilir. Oyuncu sayısı ise ikiden sonsuza kadar olabilir. (Bu makalede iki oyunculu oyunlardan bahsedilecektir.)
2. Eylem (hareket) kümesi (A): Her bir oyuncuya ait bütün olası eylem seçeneklerinin yer aldığı küme. Örneğin, bir firma için ürün fiyatı seçenekleri ile bir hareket kümesi oluşturulabilir. Eylem kümesi de sonsuz sayıda elemana sahip olabilir. (Bu makalede ağırlıklı olarak her oyuncu için sınırlı sayıda eylem seçeneği olan oyunlardan bahsedilecektir.)
3. Getiriler: Bütün oyuncuların her türlü olası strateji kombinasyonu için her oyuncunun oyun sonunda elde edeceği kazancı ya da kaybı. Bu getiriler parasal olarak tanımlanabileceği gibi her oyuncu için fayda fonksiyonları ile de belirtilebilir. (Tabii ki biyoloji gibi alanlarda bu tip getirilerden bahsetmek olanaksızdır. İki hayvan türünün çatıştıkları oyunlarda, her türün yavru sayısı o türün getirisi olarak alınabilir.)

Statik oyun örneklerine ve çözüm tekniklerine girmeden önce, önemli bir takım varsayımlardan bahsetmekte fayda vardır.

Statik Oyun Varsayımları:

i) Oyuncular eylem seçimlerini aynı anda ya da birbirlerinin haberi olmadan yaparlar.

ii) Tüm oyuncular akılcıdır.

iii) Tüm oyuncuların akılcılığı ortak bilgidir.

iv) Tüm oyuncular kusursuz fakat eksik bilgiye sahiptir.

Basit bir kaç senaryoya bakılarak bu üç öğeye göre statik bir oyunun tanımının nasıl yapılacağı daha açık olarak anlaşılabilir.

Tutukluların İkilemi (Prisoners’ Dilemma)

Bir soygun soruşturması sonucu Ali ve Veli isimli iki şüpheli yakalanmış ve ayrı odalarda ilk sorgulamalarının yapılmasını beklemektedirler. Güvenlik güçleri bu iki tutukluya bir anlaşma paketi önerir. Bu öneriye göre ikisi de suçu itiraf ederse beşer yıl, ikisi de reddederse ikişer yıl hapis cezası yiyeceklerdir. Eğer birisi itiraf, diğeri reddederse itirafçı serbest kalacak ve arkadaşı on yıl hapis cezası yiyecektir. Oyunun tanımı bu bilgilere göre yapılabilir.

1) I = {Ali, Veli}

2) A_i = {İtiraf, Red}, i = Ali, Veli

3) Bu oyunun her olası sonucu için getirileri bir getiri (kazanç) matrisi ile gösterilebilir:

Veli

	İtiraf	Red
İtiraf	-5, -5	0, -10
Red	-10, 0	-2, -2

Ali

Dikkat edilecek nokta, yukarıdaki getiri matrisindeki kazançların negatif olmasıdır. Çünkü bu oyunda getiriler hapiste geçirilecek olan yıllardır. Her hücredeki ilk rakam satır oyuncusunun (Ali), ikincisi ise kolon oyuncusunun (Veli) getirileridir.

Bu stratejik çatışmada birbirleriyle iletişim kuramayan, akılcı tutukluların nasıl karar vereceklerini bilimsel bir yaklaşımla incelemek için, Nash dengesinden faydalanabiliriz.

Nash Dengesi : Nash dengesi kendine zorlayan (self enforcing) bir denge kavramıdır. Bu dengede, hiçbir oyuncu rakip oyuncunun eylemi sabit alındığında kendi seçimini değiştirmek istemez. Bir başka deyişle, hiçbir oyuncu, rakip oyuncunun stratejisi sabit alındığında, kendi eylemini değiştirerek kazancını arttıramaz.

Tutukluların ikilemi gibi 2x2 bir kazanç matrisi olan oyunlarda Nash dengesini (eğer varsa) bulmak çok kolaydır. Bunun için matrisin bütün hücrelerine tek tek bakmak yeterli olacaktır:

Veli’nin İtiraf eylemi sabit tutulursa, Ali’nin yapabileceği en iyi seçim İtiraf etmektir. Çünkü, itiraf ederse 5, etmezse 10 yıl yatacaktır. Veli’nin Red eylemi sabit tutulduğunda, Ali’nin en iyi seçimi yine İtiraf olacaktır. Çünkü Ali serbest kalmayı, 2 yıl hapse yeğleyecektir. Yani, Veli ne yaparsa yapsın itiraf etmek Ali için dominant bir stratejidir. Veli için de aynı durum söz konusudur. Akılcı oyuncular ayrı odalarda, birbirlerinin nasıl davranacaklarını düşünürken ulaştıkları sonuç olan (itiraf, itiraf) gerçekten oyunun Nash dengesini verir, çünkü ne Ali ne de Veli rakibin itiraf stratejisi karşısında kendi itiraf stratejilerini değiştirmek istemezler. Oysa her ikisi de, beşer yıl yerine ikişer yıl hapis yatmayı tercih ederler. Bu tercihlerine rağmen, akılcı oldukları ve akılcılığın genel bilgi olduğu için işbirlikçi sonucu (Red, Red) elde edemezler. Oyunun ismindeki ikilem sözcüğü buradan kaynaklanmaktadır.

Bu oyun, oyuncuların dominant stratejilerine bakılarak da çözülebilir. Akılcı bir oyuncu domine edilen bir stratejiyi kesinlikle oynamayacaktır. Her iki oyuncunun da dominant stratejisi İtiraf etmektir. İtiraf stratejisi, Red seçimini domine eder. Akılcı Ali ile Veli Red stratejisini hiç düşünmeyeceklerdir bile. Dolayısıyla dominant stratejilerde denge de Nash dengesi ile aynı sonucu (itiraf, itiraf) verir. Bu şaşılacak bir sonuç değildir, zira her dominant strateji dengesi aynı zamanda Nash dengesidir. Fakat her Nash dengesi dominant stratejilerde denge olmayabilir.

İşbirliği ile rekabet arasında bir gerilim bulunan her stratejik karşılaşmanın özünde bu tip bir ikilem yatar. Bu yüzden bu tip oyunlar genel olarak tutukluların ikilemi oyun kategorisine girerler. Fiyat rekabetine giren iki firma arasındaki yüksek fiyat, düşük fiyat seçimi tutukluların ikilemine bir örnek teşkil edebilir. İki firma da yüksek fiyatı tercih eder, fakat rakip yüksek fiyat uyguladığında en iyi seçim fiyatı kırıp rakibin pazar payını kapmak olabilir. Bu tip düşünen akılcı firmalar bir ikilemle karşılaşırlar, çünkü bu fiyatlandırma oyununun da Nash dengesinde kendi kazançlarını maksimize etmeye çalışan firmalar fiyat savaşına girerler.

Her statik oyunda böyle bir ikilem söz konusu olmaz. Oyuncuların hareketlerini koordine etmek durumunda kaldığı oyunlar da vardır. Bu tip oyunlar için de standart örnek Kadın-Erkek Çekişmesi oyunudur. Bu örnek de tutukluların ikilemi gibi birçok ekonomik oyuna baz oluşturmuştur.

Kadın-Erkek Çekişmesi (Battle of the Sexes)

Sertab Erener ve Sezen Aksu aynı anda, değişik konser salonlarında konser verecektir. Yeni evli Ahmet Bey ve eşi Ayşe Hanım birbirleriyle iletişim imkanı olmadan aynı anda bilet alacaklardır. Bu oyunun kazanç matrisi aşağıdaki gibi verilmiştir:

Ayşe

	Erener	Aksu
Erener	2, 1	0, 0
Aksu	0, 0	1, 2

Ahmet

Yukarıdaki matristen de anlaşılacağı gibi çiftimiz bir konsere beraber gitmeyi, tek başlarına ayrı konserler seyretmeye tercih ederler. Çünkü, tek başlarına gittikleri konserden 0 fayda alacaklardır. Ahmet Bey hanımıyla birlikte Erener konserine gitmeyi, Aksu konserine yeğler. Ayşe Hanım ise beyi ile Aksu konserinde olmaktan daha mutlu olacaktır.

Ayşe Hanımın Erener seçimi sabitken, Ahmet Beyin yapabileceği en iyi seçim Erener konseridir. Böylelikle 0 fayda yerine 2 fayda kazanmış olur. Ayşe Hanımın Aksu seçimi sabitken ise Ahmet Bey de Aksu seçimini vazgeçilmez bulur. Böylece 0 fayda yerine en azından 1 fayda elde etmiş olur. Yani Ahmet Beyin dominant bir stratejisi yoktur. Aynı durum Ayşe Hanım için de geçerlidir. İki oyuncunun da Bu oyunun Nash dengesini(lerini) bulmak için de kazanç matrisinin hücrelerine tek tek bakabiliriz.

Ayşe Hanımın Erener seçimi sabit tutulduğunda, Ahmet Bey de Erener’i seçecektir. Ahmet Beyin Erener stratejisi sabitken, Ayşe Hanım da Erener’i tercih edecektir. Dolayısıyla (Erener, Erener) bu oyunda bir Nash dengesidir. (Erener, Aksu), (Aksu, Erener) sonuçları ise Nash dengesi olamazlar, çünkü iki oyuncu da birlikte konsere gitmeyi yeğlerler. Oyunculara tek tek bakıldığında, eşinin seçimi sabitken, kendi stratejisini değiştirerek kazancını sıfırdan pozitife çevirebilir. (Aksu, Aksu) sonucu da bir Nash dengesidir, çünkü hiçbir oyuncu eşinin Aksu seçimi sabitken başka bir stratejiyi seçmek istemez. Kadın-Erkek çatışması oyununun iki Nash dengesi vardır: (Erener, Erener) ve (Aksu, Aksu). Oyuncuların seçimlerini nasıl koordine edip hangi konsere gideceklerini ise bulamayız, çünkü oyuncular seçimlerini aynı anda yaparlar ve bu esnada diğerinin seçiminden habersizdirler.

Örneğimizi biraz değiştirerek, birden fazla Nash dengesinin bulunduğu oyunlarda hangi dengenin oyunun sonucu olabileceğine ışık tutabiliriz.

30 Yıllık Evlilik Sonrası Kadın-Erkek Çekişmesi

Sevgili çiftimiz 30 yıl evli kaldıktan sonra, yine benzer bir koordinasyon problemiyle karşı karşıya gelirler. Uzun evlilik döneminden sonra bile birlikte sosyalleşmeyi, yalnız başlarına gezmeye tercih ederler. Fakat, yaşları ilerlediği için, konser yerine opera ya da sinema seçimlerini değerlendireceklerdir. Ayrıca, Ahmet Bey bu sefer operadan daha fazla fayda almaktadır. Kazanç matrisimiz aşağıdaki gibidir:

Ayşe

	Opera	Sinema
Opera	3, 1	0, 0
Sinema	0, 0	1, 2

Ahmet

Bu değiştirilmiş Kadın-Erkek çatışması örneğinde de aynı iki Nash dengesi vardır: (Opera, Opera) ve (Sinema, Sinema). Fakat bu kez oyunun sonucu için bir şeyler söyleyebiliriz. Ahmet Beyin birlikte operaya gitmekten daha fazla fayda alacağını bilen Ayşe Hanım seçimini operadan yana kullanabilir. Eşinin bunu bildiğini bilen Ahmet Bey de operayı seçer. Bu yaklaşımla oyunun sonucu (opera, opera) Nash dengesi olmaya daha yakın görünür.

Birden fazla Nash dengesine sahip bir oyunda, eğer oyuncular bu tip ortak bir bilgiye sahipse oyunun sonucu olarak tek bir Nash dengesi önerilebilir. Buna odak noktası (focal point) denir. Odak noktası kavramını ilk kez Schelling 1960 yılında “Çatışma Stratejisi” (The Strategy of Conflict) kitabında ortaya atmıştır.

Odak noktası kavramını daha anlaşılır kılmak için ODTÜ İşletme Bölümünün hocalarından Profesör doktor sayın Muhan Soysal’a atfedilen bir anekdot faydalı olacaktır.

Hangisi?

İki öğrenci hafta sonu bir partiye katılmak için İstanbul’a giderler. Amaçları iyi bir eğlenceden sonra Pazar günü Ankara’ya dönerek, Muhan Beyin Pazartesi sabah yapılacak sınavına hazırlanmaktır. Cumartesi gecesi eğlence uzun sürer, ertesi gün geç kalkılır ve Ankara’ya dönüldüğünde sınava hazırlanacak zaman kalmamıştır. İki kafadar süklüm püklüm Muhan Beyin yanına giderler. Pazar günü İstanbul’dan dönerken arabanın tekerleğinin patladığını, onunla uğraşırken geç kalıp yeterince çalışamadıklarını anlatırlar. Muhan Bey biraz düşündükten sonra iki öğrencinin sınavını ertesi sabaha ertelemeyi kabul eder. Pazartesi gününü iyice çalışarak geçiren öğrenciler, Salı sabahı bir sürprizle karşılaşırlar. Muhan Bey öğrencileri ayrı sınıflarda oturtur ve soruları verir. İlk soru 10 puanlıktır ve zaten iyi çalışmış öğrenciler kolaylıkla yanıtlarlar. Sınavın ikinci sayfasında ise 90 puanlık tek bir soru vardır: Hangi tekerlek?

Yanıt için dört alternatif vardır. Tek sorun ikisinin de aynı yanıtı verebilmek için seçimlerini koordine etmeleridir. Ayrı sınıflarda oturdukları için işaret ya da konuşma söz konusu değildir. Akılcı bir öğrenci arabanın sağ tarafının yol kenarına yakın olduğu için, yol kenarına düşmüş delici bir nesnenin üzerinden geçme olasılığının daha yüksek olduğunu düşünebilir. Bu durumda en akla yatkın seçenek sağ ön lastik olabilir. Fakat burada önemli olan, olasılığı yüksek olan alternatifi değil, diğer sınıfta terleyen arkadaşının nasıl davranacağını düşünmektir. Eğer bu yaklaşım biçimi her öğrenci için genel kabul görmüş bir kanı ise, akılcı öğrenciler aynı mantık yürütme ile sağ ön tekerleği seçerek yakalarını sıyırabilirler. Yani odak noktaya ulaşabilirler.

Diğer yandan bu iki kafadar, akılcı olsalardı, Muhan Bey gibi zeki ve yaratıcı bir hocanın başlarına böyle bir çorap örebileceğini tahmin edip, sınava girmeden hangi tekerleğin patlamış olabileceği konusunda anlaşmaya varmaları gerekirdi. Daha da önemlisi, akılcı öğrenciler sınava hazırlanmak için son günü beklemezdi! Belki de oyun teorisi hakkında hiç fikir sahibi olmadıkları için stratejik düşünme ve karar vermeye bilimsel ve sistematik bir yaklaşımla bakamamışlardır.

Bu yazı umarım okurlarına oyun teorisi ve stratejik karşılaşmalarda sistematik karar verme hakkında fikir vermiştir. Yazıyı okuduktan sonra siz iki öğrenci ile aynı duruma düşseydiniz hangi tekerleği seçerdiniz?

Kaynakça

1) McMillan, J. (1992), Games Strategies and Managers. Oxford University Press: New York.

2) Dixit, A. K. ve B/ J/ Nalebuff (1991), Thinking Strategically: The Competitive Edge in Business, Politics, and Everyday Life. W. W. Norton & Company: New York.

3) McDonald, J. (1975) The Game of Business. Doubleday & Company, Inc.: New York.

4) Fudenberg, D. ve J. Tirole (1996) Game Theory. The MIT Press: Massachusetts.

put together by US